e 的渐近分数

作者：Andrei Osipov

https://projecteuler.net/problem=65

2 的平方根可以写成无限连分数。

√2 = 1 +  1
        ______
        2 +  1
           ______
           2 +  1
              ______
              2 +  1
                 ______
                 2 + ...

无限连分数可以写成 √2 = [1;(2)], (2) 表示 2 无限重复。类似地，√23 = [4;(1,3,1,8)]。

事实证明，平方根的连分数的部分值序列提供了最佳的有理逼近。让我们考虑 √2 的渐近分数。

1 + 1
 ___              = 3/2
  2

    1 + 1
  _________       = 7/5
  2 + 1 / 2

....

因此，√2 的前十个渐近分数序列为：1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

最令人惊讶的是，重要的数学常数 e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...]。

e 的渐近分数序列中的前十项是：2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

第 10 个渐近分数的分子中的数字之和为 1+4+5+7=17。

求 e 的连分数的第 100 个渐近分数的分子中的数字之和。

源代码：prob065-andreoss.pl

use v6;

sub continued-fraction(@sequence, :$depth)  {
    my $x = @sequence.shift;
    return 1 if $depth == 1;
    $x + 1.FatRat /
        continued-fraction :depth($depth - 1), @sequence
}

my @e = lazy gather { take 2;  (1, $_, 1)».&take for 2,4 ... * };

say [+] continued-fraction(@e, depth => 100).numerator.comb;